数学知识在金融风险(FRM, Financial Risk Management)的计算中扮演着举足轻重的角色,一切的理论推演最终都以数学公式的形式展现出来。本文简单介绍一下会涉及到的数学基础知识。

方差(Variance)

Investopedia 摘抄的定义:

The variance measures how far each number in the set is from the mean.

简单说就是:方差衡量了在一系列的数字中,个体与均值的差异。统计中的方差,是每个样本值与全体样本值的平均数只差的平方值的平均数。

方差的概念最初是在 1918 年,由 Ronald Fisher 提出。通常由 \(\delta^2\) 或者 Var(X) 来表示。

它的计算公式为:

$$\delta^2 = \frac{\sum (X - \mu)^2}{N}$$

其中, X 为个体变量,(\mu) 为总体均值,N 为总体个数。

标准差(Standard Deviation)

Quote from Investopedia:

Standard deviation is a measure of the dispersion of a set of data from its mean.

标准差描述了在一个样本集中,每一个样本值与起平均值的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

标准差的公式相当简单,即是方差的平方根:

$$\delta = \sqrt {\frac{\sum (X - \mu)^2}{N}}$$

其中, X 为个体变量,(\mu) 为总体均值,N 为总体个数。

协方差(Covariance)

方差是衡量的一组数据的离散程度,协方差则是衡量两组数据的联系,即相互独立的程度。如果协方差为 0,则两组数据相互独立。

它的公式也相当好记,前面我们处理方差的时候由于是一组数据,方差公式可以表示成:

$$\delta^2 = \frac{\sum (X - \mu)(X - \mu)}{N}$$

协方差公式则为:

$$Cov(X,Y) = \frac{\sum (X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y})}{N}$$

如果协方差为正,说明 X, Y 同样变化,协方差越大说明同向程度越高;如果协方差为负,说明 X, Y 反向运动,协方差越小说明反向程度越高。

由此推演开来,对于两组以上的 n 组变量,则需要一个概念叫协方差矩阵(covariance matrix)来表示。

比如对于一个三维的数据集(X,Y,Z),协方差矩阵可以写成:

$$C = \begin{bmatrix} Cov(X,X) & Cov(X,Y) & Cov(X,Z) \\ Cov(Y,X) & Cov(Y,Y) & Cov(Y,Z) \\ Cov(Z,X) & Cov(Z,Y) & Cov(Z,Z) \end{bmatrix}$$

相关系数(Correlation coefficient)

相关系数其实可以看做标准化的协方差,它消除了两个变量变化幅度的影响,而只是单纯反应两个变量单位变化时的相似程度。

需要注意的是,我们通常所说的相关系数其实是皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)。

$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\delta_{X}\delta_{Y}}$$

显而易见,\(\rho\) 的范围在 [-1,1] 之间,与之相对的协方差则是 \(((-\infty),(+\infty))\)之间。

当两组变量的相关系数为 1 时,则表明它们的正向相似度最大,为完全正相关。

当相关系数为 0 时,两组变量的变化过程没有相似度,即两个变量无关。

当相关系数为 -1 时,说明两组变量反向相似度最大,为完全负相关。

(本文完)